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標準分數
標準分數
圖一
A與B的集中量數相同
A與B的變異量數不同
B的變異量數比A小
例一：
六個標準差之內，涵蓋99%的分數，有一個月分，M平均數為80，SD為4，那標準差落在?
M=80
SD=4
標準差=68-92
例二：
六個標準差之內，涵蓋99%的分數，有一個月分，M平均數為80，SD為2，那標準差落在？
M=80
SD=2
標準差=68-74
例三：
甲班的平均成績為80分，標準差為4分；而乙班的平均成績為80分，標準差為2分。假設有一個學生在甲班考84分，和另一個學生在乙班考84分，誰考得高？
乙班的學生。因為乙班的分數較集中。
※標準差是一個可看分散或集中的尺度。
魏氏量表
魏氏智商測驗
平均數=100
圖二
假如另一半是50%
圖三
Z分數
公式：
(原分數-平均分數) /標準差
• 定義
– 指原始分數減去其平均數，再除以標準差後所得到的新分數
– 表示該原始分數是落在平均數以上或以下幾個標準差的位置上
– Z分數的特性
• Z分數的特性
– 任何一組數據經過Z公式轉換後，均具有平均數為0，標準差為1的特性
– Z分數可以作分配內與跨分配的比較。
• 當Z分數小於0時，表示該觀察值落在平均數以下
• 當Z分數大於0，表示該觀察值落在平均數以上；數值越大，表示距離平均數越遠，若觀察值恰等於平均數，則Z分數為0。
– Z分數僅是將原始分數進行線性轉換，並未改變各分數的相對關係與距離，因此Z分數轉換並不會改變分配的形狀。
張厚粲、徐建平(2007)提到標準分數(standard score )，又稱基分數或Z分數(Z-score)，是以標準差為一單位表示一個原始分數在團體所處的相對位置量數。離平均數有多遠，即表示原始分數在平均數以上或以下幾個標準差的位置，而得知該分數在團體中相對地位的量數。標準分數從分數對平均數相對地位、該組分數的離中區是兩個方面來表示原始分數的地位。
張厚粲、徐建平(2007)提到標準分數的優點
1. 可比性
標準分數以團體平均分作為比較的基準，以標準差為單位。因此不同的性質的成績，轉換為標準分數(均值為0，標準差為1)，即使背景不同，都能夠放在同背景中考慮，具有可比性。
2. 可加性
標準分數不受原始分數單位影響的抽象化數值，能夠使不同性質的原始分數具有相同的參照點，因此可以相加。
3. 明確性
知道某一個考生分數的標準分數，利用常態分配函數值表，可以知道該分數在全體分數中的百分等級，也能知道該考生分數在全體考生分數的地位。因此，標準分數較原始分數意義更明確。
4. 穩定性
原始分數轉成標準分數後，規定標準差為1，保證不同性質的分數在總分數的權重一樣。
張厚粲、徐建平(2007)提到關於標準分數的應用
Z分數不僅能表明原始分數在分配中的地位，而且還能在不同分配的各個原始分數進行比較。
1. 用於比較數個分屬性質不同的觀測值在各次次數分配中相對位置的高低。
不同值的觀測值，假如它們有各自次數分配的平均數和標準差，就能用Z分數進行比較。
2. 計算不同的質之觀測值的總平均或平均值，已表示在團體中的相對位置。
例如各科成績屬於不同質的變項，可採用Z分數計算不同觀測值的總和或平均值。
3. 表示標準測驗分數
Z=aZ+b
T分數
• 公式
T分數=Z*10+50
• 定義
– 將Z分數以下列線性轉換公式轉換成平均數50，標準差10的T分數
• T分數可改善z分數的缺點
– Z值多介於±3之間，計算時多半帶有一至二位的小數點，加上低於平均數的Z分數帶有負號，實際使用上較為不便
以上http://140.136.247.242/~nutr2027/data23.ppt
標準分數=相對量數
一個標準差內涵蓋34%。某一分數，在整體定位與另一個族群中另一個數進行比較。
例一：平均數140cm，標準差5cm，有68%人落在哪裡？
68%人落在140到135。
PR值
百分等級（percentile rank; PR）
– 係指觀察值在變項上的分數在團體中所在的等級
– 在一百個人中，該分數可以排在第幾個等級。
– 例如PR＝50代表某一個分數在團體中可以勝過50％的人，他的分數也恰好是中位數。
• 樣本數少時
– 將資料依序排列，算出累積百分比，即可對應出每一分數的百分等級
– 亦可從百分等級推算出各特定百分位數
• 樣本數大時
– 百分等級的計算必須以分組資料的方式來整理資料
– 百分等級的換算，必須以公式來計算之
當一個大型考試，要算自己的分數，在所有人中的排名。
例如：國中基測分數人數累積表
有30萬人佔68%
255492-49402=206090
圖四
標準差
資料來源
2010年10月19日引自w2.kshs.kh.edu.tw/bulletin_gifted/files/116/T%20分數.doc
2010年10月19日引自140.136.247.242/~nutr2027/data23.ppt
張厚粲、徐建平。(2007年)。現代心理與教育統計學。台北市：心理。p98、100
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